TEMA 7 MAXIMIZACIÓN BENEFICIOS PROBLEMAS

Problema 1.- La empresa “Contacuentos” ha enfocado su actividad en el ámbito de la generación de contenidos digitales asociada al desarrollo local sostenible. La empresa oferta un producto de turismo cultural “Cuentos tradicionales de las Sierras españolas” con una función de costes totales a corto plazo CTc(X) = X2 – 8X +5000, y se enfrenta a una función de demanda de cuentos X = 2000 – 5p, donde X representa cada cuento, y p su precio. Si la empresa maximiza beneficios:

1.a) ¿Cuál es la cantidad de cuentos producida?

a) 170

b) 150

c) 120

d) 100

Ayuda: Respuesta Correcta: a)

El nivel de producción que maximiza el beneficio de la empresa a corto plazo es aquel para el que se cumple que el Ingreso Marginal es igual al Coste Marginal:

Im (X) = Cm (X)

Calculamos ahora ambos:

Cm (X) = dCT(X)/dX = 2X-8

Para obtener el Ingreso Marginal primero calculamos la función inversa de demanda:

P(x) = (2000-X)/5

El Ingreso Total es:

IT(X) = X.p(X) = (2000X – X^2)/5

Im (X) = dIT(X)/dX = (2000 – 2X)/5

Se deduce que:

Im(X) = Cm(X) à 10X – 40 = 2000 – 2X

de donde se obtiene finalmente que el nivel de producción que maximiza el beneficio es:

X=170

cantidad esta que sustituida en la función de demanda nos determina el precio unitario de venta del producto:

p = (2000 – 170)/5 = 366

1.b) ¿Cuál es la elasticidad de la demanda de cuentos a su precio en el equilibrio? (aproximar a un decimal en caso necesario):

a) -1,5

b) -0,8

c) infinito

d) -10,8

Ayuda: Respuesta Correcta: d)

La elasticidad de la demanda respecto a su propio precio se calcula como:

épsilon = dX/dp . p/X

para X=170 y p=366:

épsilon = dX/dp . p/X = - 10,8

1.c) ¿Cuál es el nivel de beneficios que alcanza la empresa?

a) 0

b) -13200

c) 25300

d) 29680

Ayuda: Respuesta Correcta: d)

Calculamos el Ingreso total y el Coste total:

IT (X) = Xp = 62.220

CT (X) = 28.900 – 1.360 + 5.000

el beneficio obtenido por la empresa es:

pi = IT(X) – CT(X) = 29.680

Problema 2.- La empresa “Vacaciones de Ensueño” organiza cruceros exclusivos por el Mediterráneo en barco de vela. Su función de costes a largo plazo es CT = X3 – 15X2 + 100X, siendo X cada persona que navega en el velero. Si se enfrenta a una función de demanda del tipo X = (1975 – p)/15

2.a) ¿Cuál es el número de pasajeros de equilibrio por velero?:

a) 10

b) 15

c) 20

d) 25

Ayuda: Respuesta Correcta: d)

El nivel de producción que maximiza el beneficio de la empresa a largo plazo es aquel para el que se cumple que El Ingreso Marginal es igual al Coste Marginal. Calculamos ambos.

Cm(X) = dCT(X)/dX = 3X^2 – 30X + 100

La función inversa de demanda es:

P(X) = 1975 – 15X

El Ingreso total y el Ingreso Marginal son:

IT(X) = X.p(X) = X (1975 – 15X) = 1975X – 15X^2

ImL(X) = dIT(X)/dX = 1975 – 30X

Igualando Ingreso Marginal a Coste Marginal:

ImL(X) = CmL (X) à  1975 – 30X = 3X^2 - – 30X + 100

3X^2 = 1875 → X^2 =  625 → X = 25

Para esta cantidad obtenemos el precio de equilibrio sustituyendo en la función de demanda:

p = 1975 – 15X = 1975 – 15 ∗ 25 = 1600

2.b) ¿Cuál es la elasticidad precio de la demanda en ese punto de equilibrio? (aproximar a un decimal si es necesario):

a) 0

b) -1

c) -4,3

d) -5,2

Ayuda: Respuesta Correcta: c)

La elasticidad de la demanda respecto a su propio precio se define como:

Épsilon = dX/dp . p/X

de donde:

dX/dp = - 1/15

para X=25 y p=1600:

épsilon = dX/dp . p/x = -1/15 . 1600/25 = -4,3

2.c) Y ¿cuál es el beneficio que obtiene por velero?:

a) 25315

b) 31250

c) 40540

d) No hay beneficios

Ayuda: Respuesta Correcta: b)

El beneficio se obtiene como diferencia entre los ingresos totales y los costes totales:

B = ITL – CTL = p.X – (X^3 – 15X^2 +100X)

B = 25 ∗ 1600 – (253 – 15 ∗ 252 + 100 ∗ 25) = 40000 – 8750 = 31250.

En el siguiente gráfico se resumen los resultados principales:

P … Pe = 1600 … CMTL = 350 … O … DO = 7,5 … Xe = 25 … X

Uno Pe con Xe y CMTL con Xe

De P trazo recta pasando por intersección Pe con Xe

Por debajo de P trazo recta \ inclinada hacia X formando un triángulo rectángulo (curva Im)

Trazo rectángulo entre Pe y CMTL con vertical Xe = 25 beneficio total (beneficio unitario . cantidad vendida)  (1600 – 350) . 25 = 31250

Trazo curva CMTL por arriba y anterior a mitad línea paralela a eje X a nivel CMTL = 350, hasta abajo U y pasando por intersección CMTL = 350 y Xe = 25

Trazo curva CmL iniciando paralela izquierda de anterior ligeramente después de CMTL = 350, bajando y cortando en rama ascendente U por mínimo CMTL y punto intersección Im con vertical Xe = 25

Problema 3.- La empresa turística “La Mirada Circular S.L.”, que maximiza beneficios, tiene la función de Costes Totales a largo plazo CTL(X) = X^3 - 21X^2 + 400X, y se enfrenta a una función de demanda para su producto turístico “X: viajes organizados de montaña”, X = 300 - p.

3.a) ¿Cuál es la cantidad de viajes ofertada por la empresa para maximizar beneficios?

a) X = 30

b) X = 10

c) X = 50

d) X = 100

Ayuda: Respuesta Correcta: b)

El volumen de producción que maximiza los beneficios de la empresa es aquel para el que se cumple que el Ingreso Marginal es igual al Coste Marginal. Dicho de otra forma, que el ingreso obtenido por la última unidad vendida debe ser igual al coste de producirla.

De acuerdo con los datos del problema:

Cm (X) = dCT(X)/dX = 3X^2 -  42X + 400

Por su parte, la función inversa de demanda es:

p = 300 –X

los Ingresos Totales son:

IT(X) = pX = 300X – X^2

y el Ingreso Marginal:

Im (X)  = dIT(X)/dX = 300 – 2X

Igualando Ingresos y Costes Marginales se deriva una ecuación de segundo grado:

Im (X) = Cm (X) à  3X^2 – 40X  + 100 = 0

cuyas soluciones son:

X = [40 ± √(1600 – 1200)]/6 = X1=3,3 y X2=10

Puesto que produciendo X1=3,3 la empresa incurre en un Coste Medio superior que si produce X2=10:

CmC  (X1 = 3,3) = 341,6

CmC (X2 = 10) = 290

la minimización de Costes le lleva a producir 10 unidades del bien, cuyo precio unitario de venta es

p = 300 – X = 290

3.b) ¿Cuál es su volumen de beneficios?:

a) 10.000

b) 5.000

c) 500

d) 0

Ayuda: Respuesta Correcta: d)

Si X=10 y p=290, el beneficio de la empresa es:

pi (X) = IT(X)– CTL(X) = 10 ∗ 290 − [103 − 21 ∗ 102 + 400 ∗ 10] = 0

3.c) ¿Qué tipo de beneficios obtendría “La Mirada Circular S.L.” si su volumen de producción fuera el de la Dimensión Optima?:

a) positivos.

b) negativos

c) nulos.

d) no se pueden calcular.

Ayuda: Respuesta Correcta: b)

El volumen de producción correspondiente a la Dimensión Óptima es aquel para el cual los Costes Medios a largo plazo son mínimos. Dado que:

CML(X) = X^2 – 21X + 400

su mínimo se deduce igualando a cero la primera derivada respecto a X:

dCML(X)/dX = 2X – 21 = 0 à X = 10,5

Si la empresa produce 10,5 unidades del bien, cobra un precio unitario de:

p =  300 – X = 289,5

siendo por tanto el beneficio:

pi(X) = IT(X) – CTL(X)  = 3.039,7 – 3.042,3 < 0

Problema 4.- “El Bullicioso” es un pequeño restaurante de alta cocina que organiza cenas de degustación para reducidos grupos de comensales. Se enfrenta a una función de demanda X = (932 – 𝑝)/24, donde X representa el número de comensales a los que sirve cada noche. Si su función de costes a largo plazo CT = X^3 – 24X^2 + 500X.

4.a) ¿Cuál es el número de comensales por noche en el equilibrio a largo plazo?:

a) 10

b) 12

c) 15

d) 20

Ayuda: Respuesta Correcta: b)

El nivel de producción que maximiza el beneficio de la empresa a largo plazo es aquel para el que se cumple que el Ingreso Marginal es igual al Coste Marginal. Calculamos ambos:

Cm(X) = dCT(X)/dX =  3X^2 – 48X + 500

La función inversa de demanda es:

p(X) = 932 – 24X

El Ingreso Total:

IT(X) = X.p(X) = X (932 – 24X) = 932X – 24X^2

El Ingreso Marginal

ImL(X) = dIT(X)/dX = 932 – 48X

Igualando Coste Marginal al Ingreso Marginal:

ImL(X) = CmL(X) à 932 – 48X = 3X^2 – 48X + 500

3X^2  = 432 à  X^2 = 144 à X= 12

4.b) ¿Cuál es el precio del menú de degustación?:

a) 512

b) 644

c) 752

d) 840.

Ayuda: Respuesta Correcta: b)

Dada la cantidad calculada en el apartado anterior, obtenemos el precio de equilibrio sustituyendo en la función de demanda:

p = 932 – 24X = 932 – 24 ∗ 12 = 644

4.c) ¿Cuál sería el número de comensales si se situase en la Dimensión Óptima?:

a) 10

b) 12

c) 15

d) 20

Ayuda: Respuesta Correcta: b)

En la dimensión óptima se minimiza el coste medio en el largo plazo.

CMTL = CTL/X = X^2 – 24X + 500

Para obtener el mínimo de esta función, se deriva con respecto a X y se iguala a 0:

dCMTL/dX = 2X – 24 = 0 à X = 12

Es decir, esta empresa maximiza beneficios en su dimensión óptima (mínimo de los costes medios). Por lo que respecta al beneficio, se obtiene como diferencia entre los ingresos totales y los costes totales:

pi = ITL (X) – CTL (X) = p . X – (X^3-24X^2+500X)

= 644 ∗ 12 − (123 – 24 ∗ 122 + 500 ∗ 12) = 3456.

En el siguiente gráfico se resumen los resultados principales:

P … Pe = 644 … CMTL = 356 … O … DO = 12 … X

Uno Pe = 644 con DO = 12 y CMTL = 356 con DO = 12

Por intersección Pe = 644 con DO = 12 trazo recta desde P

Por intersección CMTL = 356 con DO = 12 trazo recta \ desde P formando triángulo rectángulo (curva Im)

Con mínimo en intersección CMTL = 356 con DO = 12 trazo curva U (curva CMTL)

Poco después de CMTL = 356 desde línea horizontal paralela a eje X trazo curva U que brazo ascendente corte a mínimo curva CMTL en intersección CMTL = 356 con DO = 12 (curva Cm)

Problema 5.- La Compañía “La Giralda”, está autorizada por el Ayuntamiento de Sevilla para ofrecer visitas en calesa por la ciudad. Su función de costes a corto plazo es CT = X^3/3 – 10X^2 + 100X +  200/3 y se enfrenta a una demanda del tipo X = 50  – p/10,  siendo X el número de turistas diarios que utilizan sus servicios.

5.a) ¿Cuántos turistas paseará cada día en su calesa?:

a) 15

b) 20

c) 25

d) 30

Ayuda: Respuesta Correcta: b)

El nivel de producción que maximiza el beneficio de la empresa a corto plazo es aquel para el que se cumple que el Ingreso Marginal es igual al Coste Marginal. O, dicho de otra forma, que el ingreso del último turista que pasee en su calesa debe ser igual a coste de pasearlo. Calculamos ambos:

Cm(X) = dCT(X)/dX = X^2 – 20X + 100

La función inversa de demanda es:

p(X) = 500 – 10X

El Ingreso Total:

I(X) = X.p(X) = X (500 – 10X) = 500X – 10X^2

El Ingreso Marginal es la derivada del Ingreso Total con respecto al nivel de producción:

Im(X) = dIT(X)/dX = 500 – 20X

Igualando Coste Marginal a Ingreso Marginal se deduce que:

Im(X) = Cm(X) à 500 – 20X = X^2 – 20X + 100 à X^2 = 400 à X = 20

5.b) ¿Cuántos turistas pasearía si la producción se situase en el Mínimo de Explotación?:

a) 15

b) 20

c) 25

d) 30

Ayuda: Respuesta Correcta: a)

El Mínimo de Explotación se calcula obteniendo los Costes Variables Medios y calculando el punto en el que tienen un mínimo. En primer lugar, calculamos los Costes Variables:

CV = X^3/3 – 10X^2 + 100X

Dividiendo por X obtenemos los Costes Variables Medios:

CVM = CV/X = X^2/3 – 10X + 100

Derivando con respecto a X e igualando a 0, se obtiene:

2X^3 – 10 = 0 à X = 15

Que es el mínimo de explotación (ME).

5.c) ¿Qué tipo de beneficio obtendría si la producción se situase en el Mínimo de

Explotación?:

a) negativos

b) positivos

c) nulos

d) No se puede calcular

Ayuda: Respuesta Correcta: b)

Calculamos los beneficios para X=15

B = IT – CT = P * X – (X^3/3 – 10X^2 + 100X + 200/3)

Calculamos el precio para X=15, sustituyendo en la función de demanda

P = 500 – 10X; 𝑃 = 500 – 10 ∗ 15 = 350

El beneficio es:

pi = 350 ∗ 15 − (15^3 /3 – 10*15^2 + 100*15 + 200/3)

= 5250 – (1125 − 2250 + 1500 + 200/3)

= 5250 – (375 + 200/3) = 5250 – (1325/3) > 0

En el siguiente gráfico se resumen los resultados principales:

P … P (x=15) = 350 … P (x=20) = 300 … CMTC(20) … CMVC(20) … O … ME=15 … OE … Xe=20 … X

Uno PE=350 con ME=15, P= 300 con Xe = 20

De CMTC(20) y CMVC(20) trazo paralelas al eje X que cortan perpendicular o vertical desde ME = 15 y Xe = 20

De p trazo recta que pasa por puntos intersección P=350 con ME=15 y P=300 con Xe=20

De P también sale recta \ hacia eje X formando triángulo rectángulo (curva Im)

Entre mitad de P = 300 y CMTC(20) sale curva U que en parte ascendente corta Im en vertical Xe=20 (curva Cm)

A la derecha curva Cm cuasi paralela curva U con mínimo en intersección con vertical ME = 15 y que pase por punto intersección CMVC(20) con Xe=20. ES LA CURVA CMCV

A la derecha de las anteriores cuasi paralela curva U que pasa en rama ascendente por intersección CMTC(20) con ME=15,  y mínimo en punto corte con curva Cm, que es vertical o perpendicular al punto OE