TEMA 6 MINIMIZACIÓN DE COSTES PROBLEMAS

Problema 1.- La Santiaguiña elabora su afamada “tarta de Santiago”, para cuya elaboración utiliza media tonelada (500 kilogramos= 0,5 Tm) de ingredientes (I: almendra, azúcar, huevos, ralladura de limón, canela y mantequilla) y 20 trabajadores (L) para obtener 1.000 kilogramos (1 Tm) de tarta. Si pK =200.000; pL = 4.000; y quiere producir 10.000 kilogramos (10 Tm) de tarta al año:

1.a) ¿cuál es el coste de la producción de 10.000 kilogramos (10 Tm) de tarta?

a) 1.800.000

b) 2.000.000

c) 3.000.000

d) 4.000.000

Ayuda: Respuesta Correcta: a)

Según el enunciado, “La Santiaguiña” cuenta con una tecnología que está representada por una función de producción de coeficientes fijos del tipo:

min (2K, L/20)

de manera tal que X, se verifica que:

L = 20X   K = X/2

En consecuencia, la función de costes totales es:

CTL (X) = Pk . X/2 + PL . 20X = X (PK/2 + 20PL)

Si pK=200.000, pL=4.000 y X=10, los costes totales de la producción son:

CTL (X = 10) = 1.800.000

1.b) Si ahora el precio de cada trabajador aumenta hasta pL = 5.000, ¿cuál será el coste total si desea mantener el nivel de producción de 10 Tm de tarta de Santiago?

a) 1.800.000

b) 2.000.000

c) 3.000.000

d) 4.000.000

Ayuda: Respuesta Correcta: b)

Si aumenta el precio del trabajo hasta pL^1 = 5.000, y la empresa desea mantener su producción inicial X=10 toneladas de tarta de Santiago, incurre en unos costes:

CTL (X) = X (PK/2 + 20PL) = 2.000.000

1.c) ¿cuál sería el número de trabajadores contratados si el precio de éstos aumenta hasta pL = 5.000, y desea no incrementar su coste inicial (el obtenido en el apartado a))?

a) 200

b) 180

c) 150

d) 120

Ayuda: Respuesta Correcta: b)

La empresa desea seguir incurriendo en unos costes CTL(X)= 1.800.000 incluso después de variar el precio del trabajo, por lo que debe alterar su producción. La función de costes con los nuevos precios es: CTL (X) = X (PK/2 + 20PL) = X . (2000/2 + 20 * 5000) = 200.000X

Luego:

X = 1.800.000/200.000 = 9

Así pues, dado que la empresa debe reducir su producción a 9 toneladas de tarta de Santiago, de acuerdo con su tecnología emplea las siguientes cantidades de factores:

L = 20X = 180

K = X/2 = 4,5

Problema 2.- El restaurante Villa Mencía elabora “Menús para peregrinos” utilizando una función de producción X = K^1/2L^1/2, donde X es cada “Menú peregrino” y K y L son los dos factores productivos capital (útiles de cocina e ingredientes) y trabajo (cocineros y auxiliares).

2.a) ¿Cuál es el coste mínimo a corto plazo de producir 300 “Menús peregrinos” si el precio del capital es pK= 100; el precio del trabajo pL= 400, y la dotación de capital K = 250?

a) 200.000

b) 169.000

c) 153.000

d) 120.000

Ayuda:

Respuesta Correcta: b)

A corto plazo, si K=250, la tecnología del restaurante está representada por la función de producción a corto:

X = 250^1/2 . L^1/2

Siendo X^2/250

la cantidad óptima utilizada del factor variable desde el punto de vista técnico. Si la empresa desea producir una cantidad X=300, debe utilizar, por tanto, L=360 unidades del factor variable.

L = 350^2/250 = 360

Sus costes totales, deducidos como suma de los costes fijos (pKK=25.000) más los variables (pLL=400(360) = 144.000) son:

CTC (X=360) = CF + CV (X) = 169.000

2.b) ¿Cuál es la relación capital/trabajo (K/L) óptima a largo plazo?

a) 2

b) 4

c) 1 / 2

d) 1/ 4

Ayuda: Respuesta Correcta: b)

La relación (K/L) óptima a largo plazo está definida por la senda de expansión de la empresa, a lo largo de la cual minimiza los costes de producción. Puesto que sobre la senda de expansión se verifica la condición de tangencia:

PmL/PmK = PL/PK  à K/L = PL/PK

para pL=400 y pK=100, la relación óptima (K/L) es entonces:

K/L = 4

2.c) ¿cuál sería el coste mínimo a largo plazo de producir 300 “Menús peregrinos” a los mismos precios que en el apartado a) (pK= 100; pL= 400)?

a) 200.000

b) 169.000

c) 153.000

d) 120.000

Ayuda: Respuesta Correcta: d)

Empezaremos deduciendo la función de costes totales a largo plazo como solución al problema:

Min CTL(X)=pLL(X)+pKK(X)

s.a: X = K^1/2.L^1/2

1/2𝐿

1/2

De las condiciones de primer orden de mínimo se deduce que:

PmL/PmK = PL/PK   K/L = PL/PK

Despejando una de las variables y sustituyendo en la función de producción obtenemos las demandas condicionadas de factores:

L = X.(PK/PL)^1/2

K = X.(PL/PK)^/2

y a partir de ellas, la función de costes totales es:

CTL (X) = X.PK.(PL/PK)^1/2 + X.PL.(PK/PL)^1/2 = 2X (PK.PL)^1/2

De aquí se deduce que si pL=400 y pK=100, el coste mínimo de producir X=300 es:

CTL (X = 300) = 120.000

Problema 3.- La Compañía de Autobuses Costa da Morte está autorizada por el Ayuntamiento de Arteixo para ofrecer el producto turístico “Y= visitas panorámicas por la ciudad”. Si la función de producción de esta empresa es: Y = X1 + 6X^2, donde X1 y X2 son los factores productivos trabajo y capital.

3.a) ¿Cuál será la expresión de la función de costes de Autobuses Costa da Morte? :

a) C = X1 + 6X2

b) C = min {p1Y, p2.Y/6}

c) C = p1.Y/X1

d) C = 6p2.Y/X2

Ayuda: Respuesta Correcta: b)

La función de producción es de factores sustitutos perfectos. En ese caso la situación es la siguiente:

Si elige X1 la función de costes es: C = p1X1 à  C = p1.Y

Si elige X2 la función de costes es:  C = p2X2 à C = p2.Y/6

y dado que elige aquella forma de producción de menor costes: C(Y) = min (p1.Y, p2.Y/6)

3.b) Si p1 = 10; y p2 = 240, ¿cuál será el Coste de producir 100 visitas panorámicas por la ciudad de Vigo?

a) 24000

b) 25000

c) 1000

d) 100

Ayuda: Respuesta Correcta: c)

Sustituyendo los valores de p1 y p2 en la función de costes:

C(Y) = min (10.Y, 240.Y/6) = min (10.Y, 40.Y)

que obviamente implica C = 10Y. En consecuencia: C= 10 . 100 = 1.000

3.c) Si p1 = 20; y p2 = 60, ¿cuál será el Coste Medio de Y?

a) 20

b) 60

c) 80/Y

d) 10

Ayuda: Respuesta Correcta: d)

Sustituyendo los precios en la función de costes:

C(Y) = min (20.Y,  60.Y/6) = min (20.Y, 10.Y)

que nuevamente da como resultado C = 10Y. El Coste Medio es: CM = 10.Y/Y = 10

Problema 4.- El Hotel Jacobeo ofrece banquetes para peregrinos en los que el atractivo reside en el postre. Se trata de su afamada “tarta de Santiago”. Para producirla posee una función de costes totales a largo plazo del tipo CTL(X) = X^3 - 6X^2 + 50X, donde X representa el número de tartas producidas.

4.a) ¿Para qué nivel de producción de tartas se alcanzará su Dimensión Optima?

a) 0

b) 10

c) 5

d) 3

Ayuda: Respuesta Correcta: d)

La Dimensión Optima se alcanza para el mínimo de los Costes Medios.

CML = CT(X) / X = X^2 – 6X + 50

derivando e igualando a cero para obtener el mínimo:

dCML/dX = 2X – 6 = 0 à X = 3

4.b) ¿Cuál es el valor del Coste Marginal a largo plazo en la Dimensión Optima?

a) 100

b) 130

c) 41

d) 18

Ayuda: Respuesta Correcta: c)

Existen dos posibilidades de calcularlo: a) obtener el Coste Marginal y sustituir el nivel de producción en el citado coste; b) conociendo que en la Dimensión Optima el Coste Medio es igual al Coste Marginal, sustituir en la primera de las expresiones el valor de la producción obtenido en el apartado anterior.

CmL = dCT(X)/dX = 3X^2 – 12X + 50

CmL (X=3) = 3.32 – 12.3 + 50 = 41

CML (X=3) = 32 – 6.3 + 50 = 41

4.c) Si la función de Coste Total a corto plazo es CTc(X) = X^3 - 3X^2 + 32X + CF, donde CF representa el Coste Fijo, ¿cuál será el valor del citado Coste Fijo si la empresa produce a corto plazo un número de “tartas de Santiago” que también la sitúan en su Dimensión Optima?

a) 27

b) 25

c) 13

d) no se puede calcular.

Ayuda: Respuesta Correcta: a)

Si la empresa a corto plazo también produce en la Dimensión Optima eso quiere decir que está en el mínimo de los Costes Medios a corto y que además tiene un CM idéntico al de largo plazo, que ya fue calculado y es 41. Adicionalmente, sabemos que el nivel de producción ha de ser X = 3, que es el de la Dimensión Optima. En consecuencia:

CMC = X^2 – 3X + 32 + CF/X = 41

CMC (X=3) = 9 – 9 + 32 + CF/3 = 41

y despejando CF = 27

Problema 5.- La empresa turística La Mirada Circular S.L. tiene una función de Costes Marginales a corto plazo del tipo CMgc = 6X^2 - 40X + 100. 5.a) ¿Cuál es el Coste Fijo de la empresa si ésta se encuentra produciendo en el Óptimo de Explotación para un nivel de producción X = 8?

a) 120

b) 250

c) 640

d) 768

Ayuda: Respuesta Correcta: d)

El Óptimo de Explotación es el mínimo de los Costes Medios. Pero desconocemos éstos que habrá que calcularlos a partir de la función de Costes Totales. Sabiendo que CMg = dC/dX,  podemos obtener este último integrando el CMg:

SCmdX = S (6X^2 – 40X + 100) dX = 2X^3 – 20X^2 + 100X + CF

CM = C/X = (2X^3 – 20X^2+100X + CF) / X = 2X^2 – 20X + 100 + CF/X

derivando e igualando a cero para obtener el mínimo:

dCM/dX = 4X – 20 – CF/X^2 = 0

4X^3 – 20X^2 = CF

y dado que sabemos que X = 8:

CF = 4 ∗ 83 − 20 ∗ 82 = 768

5.b) ¿Cuál será el número de excursiones organizadas de montaña asociado al Mínimo de Explotación?

a) 5

b) 8

c) 9

d) 10

Ayuda: Respuesta Correcta: a)

El Mínimo de Explotación es el mínimo de los Costes Variables Medios. En consecuencia:

CVM = CV/X = (2X^3 – 20X^2 + 100X) / X = 2X^2 – 20X + 100

derivando e igualando a cero para obtener el mínimo:

dCVM(X)/dX = 4X-20 = 0  à X = 5

5.c) ¿Cuál es el Coste Total en el Mínimo de Explotación?

a) 2036

b) 1018

c) 520

d) 12347

Ayuda: Respuesta Correcta: b)

El Mínimo de Explotación se obtiene para X = 5, como se ha visto en el apartado anterior. Dada la función de costes:

C = 2X^3 – 18X^2 + 100X + 768

Sustituyendo X por su valor:

C = 250 − 500 + 500 + 768 = 1018

Problema 6.- La pastelería El Placer del Dulce produce “tarta de castañas” con una función de costes totales a corto plazo CTc(X) = X^3- 5X^2 + 3X + 9, donde X se mide en miles de tartas.

6.a) ¿Para qué nivel de producto se alcanza el Óptimo de Explotación?

a) 0

b) 2,5

c) 3

d) 6

Ayuda: Respuesta Correcta: c)

El Óptimo de Explotación es el mínimo de los Costes Medios.

CM = CT/X = X^2 – 5X + 3 + 9/X

Derivando e igualando a cero para obtener el mínimo:

dCM/dX = 2X – 5 – 9/X^2 = 0  à  2X^3 – 5X^2 – 9 = 0

Y resolviendo: X = 3.

Una forma alternativa para no resolver la ecuación consiste en sustituir en la ecuación los valores a), b), c) y d) ver si se cumple la expresión.

6.b) ¿Para qué nivel de producto se alcanza el Mínimo de Explotación?

a) 0

b) 2,5

c) 3

d) 6

Ayuda: Respuesta Correcta: b)

El Mínimo de Explotación es el mínimo de los Costes Variables Medios. Luego:

CVM = X^2 – 5X + 3

Derivando e igualando a cero para obtener el mínimo:

dCVM/dX = 2X – 5 = 0  à  X = 2,5

6.c) ¿Cuál es el nivel de producto para el que El Coste Marginal es mínimo?

a) 0

b) 2,5

c) 3

d) 5/3

Ayuda: Respuesta Correcta: d)

El Coste Marginal es: Cm = dCT/dX = 3X^2 – 10X + 3

Derivando e igualando a cero para obtener el mínimo:

dCm/dX = 6X – 10 = 0  à X = 10/6 = 5/3