TEMA 9 EL MONOPOLIO PROBLEMAS

Problema 1.- El AVE Madrid-París tiene dos funciones de demanda dependiendo de su horario: en horas punta (X1) la función de demanda es X1 = 15.000 –p1/4 mientras que en horas valle (X2) es C2 = 10.000 – p2/4. Los costes totales de producción son: CT = 200.000 + X^2/2, donde X son el número de pasajeros, y los costes y los precios están expresados en céntimos de euro.

1.a- Si RENFE no puede discriminar entre las dos demandas, de forma que debe imponer un precio único, el precio por billete en euros (dividir por 100 el precio que se obtiene) será:

a) 200

b) 250

c) 300

d) 340

Ayuda: Respuesta correcta c)

Dado que RENFE no puede discriminar entre los dos grupos de demandantes la demanda agregada adopta la forma: X = X1 + X2 = 25.000 – p/2

O bien, despejando el precio: P = 50.000 – 2X

De donde se puede obtener el ingreso total, y derivando, el ingreso marginal:

IT = pX = 50.000X – 2X^2

Im = dIT/dX = 50.000 – 4X

Por su parte, el coste marginal se obtiene como la derivada del coste total con respecto a X:

Cm = dCT/dX = 2X/2 = X

Igualando el coste marginal al ingreso marginal para obtener la solución que maximiza el beneficio de la empresa: 50.000 – 4X = X  à  X = 10.000

Y sustituyendo esa cantidad en la función de demanda obtenemos el precio:

p = 50.000 – 2X = 50.000 – 20.000 = 30.000 céntimos de euro.

Para calcular el precio en euros tan solo hay que dividir por 100:

P = 30.000/100 = 300 €

1.b.- El número de viajeros en el caso de no poder discriminar es:

a) 3.750

b) 6.250

c) 10.000

d) 12.000

Ayuda: Respuesta correcta c)

Ya se ha calculado en el apartado anterior: X = 10.000 viajeros

1.c.- El beneficio de RENFE en euros (dividir por 100 el beneficio) cuando no discrimina es:

a) 0

b) 1.500.000

c) 2.425.000

d) 2.498.000

Ayuda: Respuesta correcta d)

El beneficio se calcula restando ingresos y costes totales:

Bº = 30.000 ∗ 10.000 – [200.000 + 10.000^2/2] = 249.800.000 céntimos de euro

Y, nuevamente, para obtener su valor en euros hay que dividir por 100.

B = 2.498.000 €

Problema 2.- IBERIA aplica dos políticas tarifarias en el trayecto Madrid-París dependiendo del tipo de clientes: una para ejecutivos (X1), que toman el tren muy a menudo y cuya función de demanda es X1 = 15.000 –p1/4; y otra para jubilados (X2), con una función de demanda como X2 = 10.000 – p2/4. Los costes totales de producción son CT = 200.000 + X^2/2, donde X es el número de pasajeros, y los costes y los precios están expresados en céntimos de euro.

2.a- Si IBERIA puede discriminar entre las dos demandas, ¿cuál será el precio en euros que pagarán los ejecutivos (p1)? (dividir por 100 el precio)

a) 200

b) 250

c) 300

d) 350

Ayuda: Respuesta correcta d)

Cuando IBERIA puede discriminar la situación se complica bastante más, ya que ahora puede aplicar precios diferentes a los dos tipos de viajeros. Para obtener los precios y las cantidades de equilibrio será preciso que se igualen los Costes Marginales con cada uno de los Ingresos Marginales. Veamos cómo se obtiene la solución.

Para la demanda de los ejecutivos: p1 = 60.000 – 4X1

IT1 = p1X1= 60.000X1– 4X1^2

IMg1 = dIT1/dX = 60.000 – 8X1

Para la demanda de los jubilados: p2 = 40.000 – 4X2

IT2 = p2X2= 40.000X2 – 4X2^2

IMg2 = dIT2/dX = 40.000 – 8X2

Por otro lado, el coste marginal es: CMg = 2X/2 = X = X1 + X2

Igualando costes marginales e ingresos marginales:

60.000 – 8X1 = X1 + X2

40.000 – 8X2 = X1 + X2

Que es un problema de dos ecuaciones con dos incógnitas. Despejando, por ejemplo X2, de ambas ecuaciones: X2 = 60.000 – 9X1     X2  = (40.000 – X1)/9

Igualando y resolviendo: (40.000 – X1)/9 = 60.000 – 9X1

X1 = 500.000/80 = 6.250

Y sustituyendo en la función de demanda de los ejecutivos:

p1 = 60.000 – 4*6250 = 35.000 céntimos de euro

Donde hay que dividir por 100 para expresar el precio en euros: p1 = 35.000/100 = 350€

2.b.- Si IBERIA puede discriminar entre las dos demandas, ¿cuál será el precio en euros (dividir por 100 el precio) que pagarán los jubilados (p2)?

a) 200

b) 250

c) 300

d) 350

Ayuda: Respuesta correcta b)

X2 se calcula a partir de cualquiera de las dos ecuaciones que lo hacen depender de X1, y que obtuvimos al resolver el sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas del apartado anterior. Así por ejemplo, si usamos la primera de ellas: X2 = 60.000 – 9X1  X2 = 60.000 – 9*6250 = 3.750

Y para calcular el precio se sustituye en la función de demanda de los jubilados:

p2 = 40.000 – 4*3.750 = 25.000 céntimos

Que expresado en euros: p2 = 25.000/100 = 250€

2.c.- ¿Cuál será el beneficio IBERIA en euros (dividir por 100 el beneficio) cuando discrimina?

a) 0

b) 1.500.000

c) 2.300.000

d) 2.623.000

Ayuda: Respuesta correcta d)

El beneficio se calcula de la siguiente forma:

B = p1X1 + p2X2 – CT = 35.000*6.250 + 25.000*3.750 – [200.000 + (6.250+3.750)^2/2] = 262.300.000

Y expresándolo en euros: B = 262.300.000/100 = 2.623.000€

Problema 3.- La única compañía de autobuses autorizada por el Ayuntamiento que ofrece visitas panorámicas a Madrid tiene una función de costes totales CT = X2 – 20X + 8.000, donde X representa el número de viajeros por día. Si la demanda de mercado a la que se enfrenta inicialmente es X = 4.940 – 2p, y los costes y precios vienen expresados en céntimos de euro...

3.a- El número de viajeros que harán el recorrido turístico cada día es:

a) 400

b) 650

c) 750

d) 830

Ayuda: Respuesta correcta d)

La solución es sencilla, ya que tan solo hay que igualar el coste marginal al ingreso marginal para obtener precio y cantidad que maximiza el beneficio de la empresa (obsérvese que siempre se aplica la misma regla). En ese caso: Cm = dCT/dX = 2X-20

Por otro lado, despejando p en la función de demanda: P = (4.940 – X)/2

El ingreso total será: IT (X)  = pX = 4.940X – X^2 

Y el ingreso marginal: Im (X) = dIT/dX  = (4.940 – 2X)/2

Igualando ingreso marginal a coste marginal: Im (X) = dIT/dX = (4940-2X)/2 = 2X-20

Resolviendo:

4.940 – 2X = 4X − 40

4.980 = 6X  à  X = 830

3.b.- El precio por viaje es en euros es:

a) 14,30

b) 14,70

c) 15,70

d) 20,55

Ayuda: Respuesta correcta d)

Sustituyendo ahora la cantidad obtenida en el apartado anterior en la función de demanda:

p =  (4.940 – 830)/2 = 2.055 céntimos à  p = 20,55€

3.c.- El beneficio que obtiene la empresa en euros es:

a) Igual o menor que 0

b) Positivo pero igual o menor de 1000 euros

c) Entre 1.001 y 10.000 euros

d) Más de 10.000 euros

Ayuda: Respuesta correcta d)

El beneficio se calcula de la siguiente forma (ingresos menos costes):

B = pX – (X^2 – 20𝑋 + 8.000) = pX – X = 2 + 20𝑋 − 8.000 =

= 2.055 ∗ 830 – 8302 + 20 ∗ 830 − 8000 = 1.025.350 céntimos

B = 10.253,50 euros

Problema 4.- La única compañía de autobuses autorizada por el ayuntamiento que ofrece visitas panorámicas a Madrid tiene una función de costes totales CT = X^2/20 – 30X + 8.000, donde X representa el número de viajeros por día. La demanda a la que se enfrenta puede diferenciarse entre viajeros de la Unión Europea, con una función X1 = 1000 – 20p1, y extranjeros, cuya demanda es X2 = 2.400 – 40p2. Los costes y precios vienen expresados en euros. Si la empresa puede discriminar entre los dos colectivos,

4.a- El número de viajeros europeos (X1) y extranjeros (X2) es:

a) X1 = 150; X2 = 500

b) X1 = 250; X2 = 400

c) X1 = 350; X2 = 300

d) X1 = 500; X2 = 150

Ayuda: Respuesta correcta a)

Cuando la empresa puede discriminar la situación se complica bastante más, ya que ahora puede aplicar precios diferentes a los viajeros dependiendo de su nacionalidad. Para obtener los precios y las cantidades de equilibrio será preciso que se igualen los costes marginales con cada uno de los ingresos marginales. Veamos cómo se obtiene la solución.

En el caso de los viajeros europeos:

p1 = (1000 – X1)/20

IT (x1) = p1.X1 = (1000X1 – X1^2)/20

Im1 = (1000 – 2X1)/20

Para los viajeros de otros países:

P2 = (2400 – X2)/40

IT (X2) = p2.X2 = (2400X2 – X2^2)/40

Im2 = (2400 – 2X2)/40

Por otro lado, el Coste Marginal es:

CMg = 2(X1+X2)/20 - 30 = (X1+X2-300)/10

Igualando el coste marginal a los ingresos marginales:

IMg1 = (1000 - 2X1)/20 = (X1+ X2 -  300)/10 = Cm

Im2 = (2400 – 2X2)/40 = (X1 + X2 – 300)/10 = Cm

Que es un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas. Despejando, por ejemplo, X2:

X2 = (1600 - 4X1)/2 = 800 - 2X1

X2 = (3600 - 4X1)/6

Igualando y resolviendo: X1 = 150

Y sustituyendo X2 en cualquiera de las dos ecuaciones: X2 = 500

4.b.- Los precios que pagan los europeos (p1) y los extranjeros son (p2):

a) p1 = 30; p2 =45

b) p1 = p2 = 30

c) p1 = 42,50; p2 = 47,50

d) p1 = 75/3; p2 = 65/3

Ayuda: Respuesta correcta c)

Para calcular los precios tan solo hay que sustituir en las funciones de demanda. Para los europeos: p1 = (1000 – X1)/20 = (1000 – 150)/20 = 42,50

y para los no europeos: p2 = (2400 – X2)/40 = (2400 – 500)/40 = 47,50€

4.c.- ¿cuál esla relación entre las elasticidades de la demanda evaluadas en el punto que maximiza el beneficio (en valor absoluto) entre los europeos y los extranjeros?

a) elasticidad europeos < elasticidad extranjeros

b) elasticidad europeos > elasticidad extranjeros

c) ambas elasticidades son cero

d) ambas elasticidades son infinitas

Ayuda: Respuesta correcta b)

Las elasticidades son, para europeos y no europeos respectivamente:

épsilon 1 = -dX1/dp1. p1/X1 = - (20). 42,5/150 = -17/3 = -5,7

épsilon 2 = -dX2/dp2. P2/X2 = −(40). 47,5/500 = −19/5 = −3,8

De donde se toman los valores absolutos. Nótese que la demanda de los no europeos es menos elástica, por lo que se les puede aplicar un precio mayor que a los europeos, quienes tienen una demanda más elástica.

Problema 5.- TUSSAM (Transportes Urbanos de Sevilla) se enfrenta a una demanda de mercado del tipo X = 5960 – 2p. Si la función de costes totales es CT = X^2 – 20X + 8.000, donde X representa el número de viajeros por día, y los costes y precios vienen expresados en céntimos de euro,

5.a.- El número de viajeros que transporta cada día es:

a) 400

b) 800

c) 1000

d) Ninguna de las anteriores

Ayuda: Respuesta correcta c)

La solución es sencilla, ya que tan solo hay que igualar el coste marginal al ingreso marginal para obtener precio y cantidad que maximiza el beneficio de la empresa (obsérvese que siempre se aplica la misma regla). En ese caso: Cm = dCT/dX = 2X - 20

Por otro lado, despejando p en la función de demanda: p =  (5960 – X)/2

El ingreso total será: IT (X) = pX = (5960X – X^2)/2

Y el ingreso marginal: Im = dIT/dX = (5960 – 2X)/2

Igualando ingreso marginal a coste marginal: (5960 – 2X)/2 =  2X − 20

Resolviendo:

5960 – 2X = 4X – 40 à 6000 = 6X à X = 1000

5.b.- El precio por viaje en céntimos de euro es:

a) 1430

b) 2480

c) 2680

d) Ninguna de las anteriores

Ayuda: Respuesta correcta b)

Sustituyendo ahora la cantidad obtenida en el apartado anterior en la función de demanda:

p = (5960 – X)/2 = (5960 – 1000)/2 =  2480 céntimos à  p = 24,80€

5.c.- El beneficio que obtiene la empresa en euros es:

a) Igual o menor que cero.

b) Positivo pero igual o menor de 500 euros

c) Entre 501 y 1.000 euros

d) Más de 1000 euros

Ayuda: Respuesta correcta d)

El beneficio se calcula de la siguiente forma (ingresos menos costes):

B = pX – (X^2 – 20X + 8.000) = = 2480 ∗ 1000 – 10002 + 20 ∗ 1000 − 8000

= 1.492.000 céntimos

B = 14.920€

Problema 6.- El AVE Madrid-Sevilla tiene tanto una función de costes como una función de demanda distinta dependiendo de la hora del día. Los costes en horas punta (X1) son CT1= 150.000 + 3,5X1^2, mientras que los de horas valle (X2) son CT2 = 50.000 + 12X2^2, donde X recoge el número de pasajeros, y los costes y los precios están expresados en céntimos de euro. Las funciones de demanda en horas punta y horas valle son:

X1 = 15.000 – p1/4

X2 = 10.000 – p2/4

6.a- ¿Cuántos viajeros utilizarán el AVE en hora punta (X1)?

a) 1.250

b) 4.000

c) 5.250

d) 10.000

Ayuda: Respuesta correcta b)

Este es un caso de peakload pricing, donde los costes y los precios son diferentes dependiendo de la franja horaria o de las temporadas. Esto supondrá que también serán diferentes las cantidades y los precios de equilibrio en cada momento. Para obtener los precios y las cantidades de equilibrio será preciso que se igualen los costes marginales de cada franja horaria con cada uno de los ingresos marginales. Veamos cómo se obtiene la solución. Para la demanda en horario punta (despejamos el precio):

p1 = 60.000 – 4X1

El ingreso total es IT1 = p1X1 = 60.000X1 – 4X1^2

y el ingreso marginal Im1 = 60.000 – 8X1

Para la demanda en horario valle:

P2 = 40.000 – 4X2

IT2 = p2.X2 = 40.000X2 – 4X2^2

Im2 = 40.000 – 8X2

Por otro lado, los costes marginales son, para cada horario:

Cm1 = dCT1/dX1 = 7X1

Cm2 = dCT2/dX2 = 24X2

Igualando costes marginales e ingresos marginales para cada horario:

60.000 – 8X1 = 7X1

40.000 – 8X2 = 24X2

Y resolviendo en la primera ecuación:

X1 = 60.000/15 = 4.000

6.b.- ¿Cuántos viajeros utilizarán el AVE en hora valle (X2)?

a) 1.250

b) 4.000

c) 5.250

d) 10.000

Ayuda: Respuesta correcta a)

X2 se calcula a partir de la segunda de las dos ecuaciones anteriores:

X2 = 40.000/32 = 1.250

6.c.- ¿Cuál es la relación entre las elasticidades (en valor absoluto) de la hora punta y de la hora valle?

a) la demanda de hora punta es más elástica que la de hora valle

b) la demanda de hora punta es menos elástica que la de hora valle

c) ambas elasticidades son cero

d) ambas elasticidades son infinito

Ayuda: Respuesta correcta b)

Para calcular las elasticidades primero hay que conocer los precios. Estos se obtienen sobre las funciones de demanda.

Sustituyendo en la función de demanda del horario punta el número de pasajeros que calculamos en el primer apartado:

p1 = 60.000 – 4*4.000 = 44.000

Y dividiendo por 100 se obtiene el precio en euros: p1 = 440€

Sustituyendo en la función de demanda valle: p2 = 40.000 – 4*1.250 = 35.000

Y dividiendo por 100 se obtiene el precio en euros: p2 = 350€

Las elasticidades son:

épsilon 1 = −dX1/dp1. p1/X1 =  − (−1/4) 44000/4000 = 11/4 = = 2,75

épsilon 2 = −dX2/dp2 . p2/X2 = − (−1/4) 35000/1250 = 7

Como se puede observar, la demanda de hora punta es más inelástica (menos elástica) que la de hora valle. Por eso se le puede cargar un precio superior.