TEMA 10 EL OLIGOPOLIO PROBLEMAS

Problema 1.- Las compañías aéreas Gavilán S.L. y Paloma S.A. son las únicas que realizan semanalmente el trayecto León-Sidney. La función de costes de Gavilán es CT1= 100X1, mientras que la de Paloma es CT2 = 200X2, siendo X1 y X2 el número de pasajeros diarios que transporta cada una de las compañías. Si la función de demanda es p = 3.600 – X, y cada una espera la reacción de la otra para fijar el número de viajeros que transportará (duopolio de Cournot),

1.a- ¿Cuántos pasajeros diarios transportará la compañía Gavilán S.L. (X1)?

a) 800

b) 1.000

c) 1.100

d) 1.200

Ayuda: Respuesta correcta d)

Dado que es un duopolio de Cournot, su solución se obtendrá a partir del modelo formulado por este economista francés. Lo primero es construir las funciones de reacción.

El problema de la compañía Gavilán será:

Max. B1 = [3.600 – (X1+X2)]X1– 100X1

derivando e igualando a cero para encontrar el máximo:

3.600 –2X1– X2– 100 = 0

y obtenemos la función de reacción de esta compañía:

X1 = (3.500 – X2)/2

El problema de la compañía Paloma es:

Max. B2 = [3.600 – (X1+X2)]X2– 200X1

derivando e igualando a cero:

3.600 –2X2– X1– 200 = 0

y obtenemos la función de reacción de esta compañía:

X2 = (3.400 – X1)/2

que son dos ecuaciones con dos incógnitas. Despejando, por ejemplo X1 de la segunda

e igualando:

X1 = 3.400 – 2X2 = (3.500 – X2)/2

Resolviendo:

X2 = (6.800 – 3.500)/3 = 1.100 y  X1 = 3.400 – 2*1.100 = 1.200

1.b.- ¿Cuántos pasajeros diarios transportará la compañía Paloma S.A. (X2)?

a) 800

b) 1.000

c) 1.100

d) 1.200

Ayuda: Respuesta correcta c)

Ya se ha respondido en el apartado anterior. X2 = 1.100

1.c.- ¿Cuál será el precio en euros del billete de avión entre León y Sidney?

a) 1.000

b) 1.300

c) 1.500

d) 1.750

Ayuda: Respuesta correcta b)

El precio se calcula sobre la función de demanda:

p = 3.600 – X = 3.600 – (X1 + X2) = 3.600 – 1.200 – 1.100 = 1.300

Problema 2.- Las compañías aéreas Gavilán S.L. y Paloma S.A. son las únicas que realizan semanalmente el trayecto León-Sidney. La función de costes de Gavilán es CT1= 100X1, mientras que la de Paloma es CT2 = 200X2, siendo X1 y X2 el número de pasajeros diarios que transporta cada una de las compañías. Si la función de demanda es p = 3.600 – X, y la empresa Gavilán aprende de la experiencia, por lo que se convierte en líder (X1 es la líder), mientras que la empresa Paloma actúa como seguidora.

2.a- ¿Cuántos pasajeros diarios transportará la compañía Gavilán S.L. (X1)?

a) 800

b) 1.100

c) 1.200

d) 1.800

Ayuda: Respuesta correcta d)

Este es un modelo de Stackelberg donde la empresa 1 actúa como líder y la 2 como seguidora. En esa medida, lo primero es conocer la función de reacción de la segunda. El problema de la compañía Paloma es:

Max. B2 = [3.600 – (X1+X2)]X2– 200X2

derivando con respecto a X2 e igualando a cero:

3.600 – 2X2 – X1– 200 = 0

y obtenemos la función de reacción de esta compañía: X2 = (3.400 – X1)/2

Ahora veamos cómo actúa la líder. El problema de optimización de Gavilán es:

MaxB1 = [3600 – (X1 + (3400-X1)/2)]X1 – 100X1

que operando se transforma en:

MaxB1 = [1900 – X1/2]X1 – 100X1

derivando con respecto a X1 e igualando a cero:

dB1/dX1 = 1900 – X1 – 100 = 0

despejando   X1 = 1.800

2.b.- ¿Cuántos pasajeros diarios transportará la compañía Paloma S.A. (X2)?

a) 800

b) 1.000

c) 1.100

d) 1.200

Ayuda: Respuesta correcta a)

Utilizando la función de reacción:

X2 = (3.400 – X1)/2 = (3.400 – 1.800)/2 = 800

2.c.- ¿Cuál será el precio en euros del billete de avión entre León y Sidney?

a) 1.000

b) 1.300

c) 1.500

d) 1.750

Ayuda: Respuesta correcta a)

El precio se calcula sobre la función de demanda:

p = 3.600 – X = 3.600 – (X1+X2) = 3.600 – (1.800+800) = 1.000 €

Problema 3.- Los viajes organizados desde España a Turquía están controlados por dos mayoristas: Turkish S.A., cuya función de costes es CT1 =X1^ 2 ; y Spaturk S.A., con una función de costes CT2 = 2X^2 , siendo X1 y X2 los viajeros de cada uno de los dos  mayoristas. La función de demanda es p = 7.200 – X, donde el precio está expresado en euros. Si las dos compañías forman un cártel,

3.a- ¿Cuántos viajeros elegirán ir a Turquía con Turkish S.A. (X1)?

a) 720

b) 1.120

c) 1.440

d) 1.600

Ayuda: Respuesta correcta c)

Recuperaremos de nuevo el modelo de duopolio que hemos estado utilizando en esta lección, suponiendo que existen dos empresas (los hoteles 1 y 2) con sus correspondientes funciones de costes CT(X1) y CT(X2), que abastecen una demanda agregada representada por la función p = a – bX. Supondremos además que estas dos empresas, en lugar de competir, se ponen de acuerdo para fijar la producción agregada que lanzarán al mercado con el fin de maximizar su beneficio conjunto, distribuyéndose después la misma por cuotas. El equilibrio surgirá ahora como solución al siguiente problema:

Maximizar B = [a – b (X1+X2)](X1+X2) – CT (X1) – CT (X2)

Derivando el beneficio con respecto a cada una de las producciones (X1 y X2) e igualando a cero, se obtiene:

dB/dX1 = a – 2b(X1+X2) – Cm1 = 0

dB/dX2 = a – 2b(X1+X2) – Cm2 = 0

Dado que el término izquierdo de las dos expresiones resultantes es idéntico, se deduce obviamente que, en equilibrio, los Costes Marginales de ambas empresas deben de ser iguales, esto es:

CMg1 = CMg2

Por tanto, el problema de optimización conjunta es:

B = [7.200 – (X1+X2)](X1+X2) – X1^2 – 2X2^2

Derivando con respecto a cada una de las ofertas:

dB/X1 = 7.200 – 2X1 – 2X2 – 2X1 = 0

dB/X2 = 7.200 – 2X1 – 2X2 – 4X2 = 0

y despejando:

X1 = (7.200 – 2X2)/4

X2 = (7.200 – 2X1)/6

Que es un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas. Resolviendo:

X1 = 1.440

3.b.- ¿Cuántos viajeros elegirán ir a Turquía con Spaturk S.A. (X2)?

a) 720

b) 1.120

c) 1.440

d) 1.600

Ayuda: Respuesta correcta a)

Utilizando una de las ecuaciones obtenidas en la ayuda anterior:

X2 = (7.200 – 2X1)/6 = (7.200 – 2*1.440)/6 = 720

3.c.- ¿Cuál será el precio que paguen los viajeros?

a) 2.130

b) 4.480

c) 5.040

d) 6.810

Ayuda: Respuesta correcta c)

El precio se obtiene a partir de la función de demanda:

p = 7.200 – X = p = 7.200 – (X1 + X2) = 7.200 – (1.440 + 720) = 5.040

Problema 4.- Los viajes organizados desde España a Turquía están controlados por dos mayoristas: Turkish S.A., cuya función de costes es CT1 =X1^2; y Spaturk S.A., con una función de costes CT2 = 2X2^2, siendo X1 y X2 los viajeros de cada uno de los dos mayoristas. La función de demanda es p = 7.200 – X, donde X = X1 + X2 y el precio está expresado en euros. Si Turkish S.A. actúa como líder, mientras que Spaturk S.A. es una seguidora que se sitúa en una posición competitiva, de forma que configuran un modelo de liderazgo de precios,

4.a- ¿Cuántos viajeros elegirán ir a Turquía con Turkish S.A. (X1)?

a) 720

b) 1.120

c) 1.440

d) 1.600

Ayuda: Respuesta correcta d)

La empresa 2 es una seguidora competitiva, por lo que igualará el precio a su Coste

Marginal para calcular su oferta. En consecuencia:

CMg2 = dCT2/dX2 = 4X2 = p

X2 = p/4 = [7200 – (x1+X2)]/4

y despejando:

X2 = (7200 – X1)/5

La empresa Gavilán, la 1, es la líder, por lo que incorporará la oferta de la 2 en la demanda agregada y maximizará su beneficio. En ese caso (sustituimos p por la expresión de la demanda agregada):

B1 = IT(X) – CT(X) = pX1 – X1^2 = [7200 – (X1 + (7200-X1)/5)]X1 – X1^2

Reordenando:

B1 = (28800 – 4X1)/5.X1 – X1^2

derivando e igualando a cero para obtener un máximo:

dB1/dX1 = (28800 – 8X1)/5 – 2X1 = 0

y resolviendo:

X1 = 1.600

4.b.- ¿Cuántos viajeros elegirán ir a Turquía con Spaturk S.A. (X2)?

a) 720

b) 1.120

c) 1.440

d) 1.600

Ayuda: Respuesta correcta b)

Utilizando la expresión calculada en el apartado anterior:

X2 = (7200-X1)/5 = (7200-1600)/5 = 1.120

4.c.- ¿Cuál será el precio que paguen los viajeros?

a) 2.130

b) 4.480

c) 5.040

d) 6.810

Ayuda: Respuesta correcta b)

El precio se calcula sobre la función de demanda sustituyendo las cantidades:

p = 7.200 – (1.600 + 1.120) = 4.480

Problema 5.- En el pueblo de Sotosalbos hay dos centros hípicos que organizan excursiones a caballo: El Equino, cuya función de costes es CT(X1) = X1^2 – 5X1+100; y Galopera con CT(X2) = X2^2 – 10X2+200. La función de demanda de excursiones es p = 360 – 2X. Si ambas empresas deciden organizar un cártel

5.a.- ¿Cuál será el número de excursiones que organice El Equino (X1)? (es posible organizar excursiones de media jornada)

a) 25,5

b) 35,5

c) 38

d) 46,5

Ayuda: Respuesta correcta b)

Dado que es un cártel tenemos que maximizar el beneficio conjunto.

B = [360 – 2(X1+X2)](X1+X2) – (X1^2 – 5X1 + 100) – (X2^2 – 10X2 + 200)

Derivando con respecto a X1 y X2

dB/dX1 = 360 – 4X1 – 4X2 – 2X1 + 5 = 0 à X1 = (365-4X2)/6

dB/dX2 = 360 – 4X1 – 4X2 – 2X2 + 10 = 0 à X2 = (370-4X1)/6

Resolviendo este sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, por ejemplo para X1

X2 = (365 – 6X1)/4 = (370 – 4X1)/6 à  X1 = 35,5

5.b.- ¿Cuál será el número de excursiones que organice Galopera (X2)? (es posible organizar excursiones de media jornada)

a) 25,5

b) 35,5

c) 38

d) 46,5

Ayuda: Respuesta correcta c)

Lo único que hay que hacer es sustituir X1 = 35,5 en cualquiera de las expresiones que

lo relaciona con X2. Por ejemplo:

X2 = (370 – 4X1)/6 = 38

5.c.- Si El Equino decide romper el acuerdo del cártel pero Galopera lo mantiene ¿cuál será el número de excursiones que organice ahora El Equino? (aproximar al número entero más cercano)

a) 26

b) 36

c) 38

d) 48

Ayuda: Respuesta correcta d)

Si rompe el cártel entonces maximiza su beneficio. Al mismo tiempo Galopera sigue con la producción del cártel, luego ofrece 38 excursiones.

B1 = [360 – 2(X1+X2)]X1 – (X1^2 – 5X1 + 100)

dB1/dX1 = 360 – 4X1 – 2X2 – 2X1 + 5 = 0  à  X1 = (365-2X2)/6

Sustituyendo X2 = 38:

X1 = 48,15 

Que redondeamos a 48.

Problema 6.- En Irún la demanda de excursiones de fin de semana en kayak es p = 360 – 2X, siendo abastecida por dos empresas: Karmele S.L. y Hermanos Aguirre, cuyas funciones de costes son CT(X1)= X1^2 – 5X1+150 y CT(X2) = X2^2 – 10X2+250. Si funcionan como un oligopolio de liderazgo de precios siendo Karmele S.L. la líder y Hermanos Aguirre la seguidora

6.a.- ¿Cuántas excursiones organizarán Hermanos Aguirre (X2)?

a) 30

b) 45

c) 60

d) 70

Ayuda: Respuesta correcta d)

Si es modelo de liderazgo de precios y Hermanos Aguirre son los seguidores eso quiere decir que se comportan como si fueran una empresa de competencia perfecta e igualan su coste marginal al precio.

Cm(X2) = 2X2 – 10 = p = 360 – 2(X1+X2) à X2 = (370 – 2X1)/4 = (185-X1)/2

Incorporamos ahora esta oferta en el beneficio de Karmele S.L.

B1 = [360 – 2(X1+ (185-X1)/2)]X1 – (X1^2-5X1+100)

B1 = [360 – 2(185+X1)/2)] X1 – (X1^2 – 5X1 + 100)

B1 = [175 – X1]X1 – (X1^2 – 5X1 + 100)

Derivando

dB1/dX1 = 175 – 2X1 – 2X1 + 5 =  0 à X1 = 45

Sustituimos ahora en la expresión de X2

X2 = (185 – X1)/2 = 70

6.b.- ¿Cuántas excursiones organizará Karmele S.L.(X1)?

a) 30

b) 45

c) 60

d) 70

Ayuda: Respuesta correcta b)

Lo hemos calculado en el apartado anterior. X1 = 45

6.c.- ¿Cuál será el precio de las excursiones?

a) 120

b) 130

c) 140

d) 150

Ayuda: Respuesta correcta b)

Para calcularlo solo es preciso sustituir en la función de demanda X1 y X2 por sus valores.

P = 360 – 2(45+70) = 130