TEMA 5 FCIÓN PRODUCCIÓN NEOCLÁSICA PROBLEMAS

Problema 1.- El Sabroso ofrece el producto “Catering para eventos”. Para poner en servicio cada evento utiliza 6 trabajadores y 1 máquina de café. 1.a) Si tiene 24 trabajadores y 3 máquinas, ¿cuál es la Productividad Marginal de un nuevo trabajador?:

a) 2

b) 1

c) 0

d) no se puede determinar.

Ayuda: Respuesta Correcta: c)

La función de producción utiliza factores complementarios perfectos, de forma que se puede expresar como X = min{L/6,K}

siendo L el número de trabajadores y K las máquinas. En esa situación: X = min{24/4, 3} = 3

y las máquinas limitan la producción. En consecuencia, un nuevo trabajador no añade producción y su Productividad Marginal es nula.

Gráficamente:

K … 3 … O … 18 … 24 … L

Perpendicular /  L/6 = K

Uno 3 con 18 (trazo |_)  y 3 con 24 (punto A)

La empresa está situada en el punto A, con un nivel de producción X = 3.

1.b) Si tiene 24 trabajadores y 3 máquinas, ¿cuál es la Productividad de una nueva máquina?

a) 2

b) 1

c) 0

d) no se puede determinar.

Ayuda: Respuesta Correcta: b)

En este caso la situación es: X = min{24/4, 4} = 4

Una nueva máquina incrementa la producción en un nuevo evento al que puede hacer frente. En consecuencia, su Productividad Marginal es 1

Gráficamente:

K … 4 … 3 … O … 18 … 24 … L

Perpendicular /  L/6 = K

Uno 3 con 18 (trazo |_)  y 3 con 24 (punto A) y 4 con 24 (punto B) y desde B |_

La empresa pasa del punto A al B, incrementando la producción.

1.c) ¿qué tipo de rendimientos de escala tiene esta empresa?:

a) crecientes

b) constantes

c) decrecientes

d) no se puede determinar

Ayuda: Respuesta Correcta: b)

Veámoslo con un ejemplo. Supongamos que la empresa utiliza 24 trabajadores y 4 máquinas para dar servicio a 4 eventos. Si doblamos ambos tanto las máquinas como los trabajadores de forma que ahora utilizamos 48 trabajadores y 8 máquinas, entonces: X = min {48/6, 8} = 8

y el nivel de eventos que puede atender se dobla. Los rendimientos son, por lo tanto, constantes de escala.

Gráficamente:

K … 8 … 4 … O … 24 … 48 … L

Perpendicular /  L/6 = K

Uno 4 con 24 ( punto A y trazo |_)  y 4 con 48 (punto B y trazo |_)

La empresa pasa de A a B al doblar los inputs.

Problema 2.- Tecno ofrece “Servicios TIC para eventos” empleando trabajo (L) y tecnología (T) a través de la función de producción X= L T1/2, donde X representa el número de productos ofertados.

2.a) ¿qué tipo de rendimientos de escala presenta?:

a) crecientes

b) constantes

c) decrecientes

d) no se puede determinar

Ayuda:

Respuesta Correcta: a)

Si multiplicamos ambos factores por una constante:

aL (a T)^1/2 > a^3/2.LT^1/2 = a^3/2X

Y los rendimientos son crecientes de escala. Numéricamente, supongamos L = 2; T = 4.

En ese caso: X = 2 . 4^1/2 = 4

Si ahora a= 4 tenemos:

4*2 (4*4)^1/2 = 32 > 4X = 16.

2.b) Cuál es la Relación de Sustitución Técnica entre trabajo y tecnología RTS (L,T)? :

a) 2T^1/2

b) 1/2T^1/2

c) 2T/L

d) L^1/2 + T

Ayuda:

Respuesta Correcta: c)

RTS (L,T)  = PmL/PmT = T^1/2 / ½.LT^-1/2 = 2T/L

2.c) Si quiere producir exactamente 4 Servicios TIC para eventos, ¿cuál de las siguientes

combinaciones de factores permite dicha producción?:

a) L = 1 ; T = 4

b) L = 2 ; T = 4

c) L = 2,5 ; T = 2

d) L = 2 ; T = 3

Ayuda:

Respuesta Correcta: b)

Sustituyendo todas las combinaciones en la función de producción tan sólo la b) permite

situarse en la isocuanta X = 4, ya que:

X = 2. 4^1/2 = 4

Problema 3.- La Casa Rural “La Alberca” ofrece comidas pudiendo emplear alternativamente trabajadores eventuales (X1) y miembros de la familia (X2). Cada miembro de la familia produce la mitad de comida que un trabajador eventual. 3.a) Si cada miembro de la familia produce una comida al día, siendo Y el número de comidas diarias, ¿cuál será la función de producción de la Casa Rural?:

a) Y = 2X1 + X2

b) Y = X1 + 2X2

c) Y = 2X1 X2

d) Y = min {2X1, X2}

Ayuda:

Respuesta Correcta: a)

Para producir una comida se necesita o bien un miembro de la familia (X2), o, alternativamente, 0,5 trabajadores eventuales (X1), ya que estos últimos son el doble de productivos. En consecuencia, la función de producción es:

Y = 2X1 + X2.

Gráficamente, las isocuantas de esta función de producción son del tipo:

X2 … 4 … 2 … O … 1 … 2 … X1

Uno 2 con 1 y esa es isocuanta X = 1 \  y uno 4 con 2 y esa es X = 2  \

3.b) ¿cuál es la Relación de Sustitución Técnica entre trabajadores eventuales y familiares si X1 = 5 y X2 = 2?

a) 5/2

b) 2

c) 2/5

d) 1/ 2

Ayuda:

Respuesta Correcta: b)

Dada la forma de la función de producción, la RTS(X2,X1) es:

RTS (X1, X2) = Pmg1 / Pmg2 = 2/1 = 2

Nótese que esta RTS es constante a lo largo de toda la isocuanta

3.c) Si el número de trabajadores familiares es de 2, ¿cuál es la Productividad Media de los trabajadores eventuales?:

a) 2

b) 2 + 2/X1

c) 1

d) 2X1 + 2

Ayuda:

Respuesta Correcta: b)

Bajo ese supuesto la función de producción es:  Y = 2X1 + 2

PM1 = Y/X1 = 2 + 2 / X1

Problema 4.- La Empresa “Viajes Noroeste Ibérico”ofrece visitas culturales a ciudades del Noroeste Peninsular utilizando la función de producción X = 4L^2 (K – 5L), donde L representa el número de trabajadores y K los servicios de capital. Si a corto plazo K = 300,

4.a) ¿Cuál es el nivel de empleo para el que se alcanza el Optimo Técnico?

a) 10

b) 20

c) 30

d) 40

Ayuda:

Respuesta Correcta: c)

El óptimo técnico es el máximo de la Productividad Media. En ese caso:

X = 4L^2 (300 - 5L) = 1200L^2 -  20L^3

PML = X/L = 1200L – 20L^2

Derivando e igualando a cero para obtener el máximo:

dPML/dL = 1200 – 40L = 0 à L = 30

4.b) ¿Para qué nivel de producto se alcanza la Productividad Marginal del trabajo máxima?

a) 100.000

b) 320

c) 540.000

d) 640.000

Ayuda:

Respuesta Correcta: b)

La Productividad Marginal es la derivada de la función de productividad total.

PmL = dX/dL = 2400L – 60L^2

Derivando e igualando a cero para obtener el valor máximo de L:

dPmL/dL = 2400 – 120L = 0 à L = 20

Sustituyendo ahora en la función de producción para obtener el valor de X:

X = 1200(20)^2 - 20(20)^3 = 320.000

4.c) ¿Con cuántos trabajadores alcanza la Empresa el Máximo Técnico?

a) 10

b) 20

c) 30

d) 40

Ayuda:

Respuesta Correcta: d)

El máximo técnico es el máximo de la función de productividad total. Derivando ésta e igualando a cero:

dX/dL = 2400L – 60L^2  = 0 à L = 40

Problema 5.- La Empresa Aérea Low Cost Voar ofrece viajes Vigo-San Francisco utilizando la función de producción X = K^1/2.L^1/2, donde K representa el capital empleado y L el número de trabajadores.

5.a) ¿Cuál es la elasticidad de sustitución entre factores?:

a) ½

b) 2

c) 1

d) 

Ayuda:

Respuesta Correcta: c)

La elasticidad de sustitución entre factores mide la variación porcentual que se produce en un factor cuando el otro varía en un determinado porcentaje permaneciendo constante el nivel de producto. En términos infinitesimales se expresa como:

Épsilon =  dK/K / dL/L = -dK/dL . L/K

La primera parte de la expresión es la Relación Técnica de Sustitución, que es igual al cociente de las productividades marginales. Para ello derivamos completamente la función de producción y la igualamos a cero ya que estamos sobre una isocuanta y el producto no varía:

dX = dX/dK . dK + dX/dL . dL = PmK . dK + PmL . dL = 0

Despejando:  RTS (L,K) = - dK/dL = PmL/PmK

Obtenemos ahora las Productividades Marginales:

PmL = ½ . K^1/2. L^-1/2

PmK = ½. K^-1/2 . L^1/2

Sustituyendo y operando:

Épsilon = -dK/dL . L/K = PmL/PmK . L/K = [(1/2.K^1/2.L^-1/2) / (1/2.K^-1/2.L^1/2)] . L/K =

=  K/L . L/K = 1

5.b) Suponga que se produce una mejora de la tecnología de forma que la nueva función de producción utilizada por Voar es X = LK1/2, ¿cuál será la nueva elasticidad de sustitución de los factores?:

a) ½

b) 2

c) 1

d) infinito

Ayuda:

Respuesta Correcta: b)

Lo que han cambiado son las Productividades Marginales, que ahora son:

PmL = K^1/2

PmK = ½. K^-1/2.L

Sustituyendo y operando:

Épsilon = -dK/dL . L/K = PmL/PmK . L/K = [K^1/2 / (½.K^-1/2.L)] . L/K = 2K/L . L/K = 2

5.c) Suponga una nueva mejora de la tecnología que hace que la nueva función de producción sea X = L^3K^1/2. Si a corto plazo K = 400, ¿cuál será el número de trabajadores que maximice la Productividad Media del trabajo?:

a) 0

b) 100

c) 500

d) infinito

Ayuda: Respuesta Correcta: d)

El Óptimo Técnico es el máximo de la Productividad Media. Dada nuestra función de producción X = L^3K^1/2 para K=400 en el corto plazo la función de producción resulta:

X = L^3  . 400^1/2 = 20 L^3

Cuya productividad media es:

PML = X/L = 20L^2

Derivando e igualando a cero para obtener el máximo:

dPML/dL = 40L = 0

En L = 0 la función de productividad media tiene un mínimo dado que la segunda derivada es positiva:

d^2.PML/dL^2 = 40 > 0

Gráficamente:

()  semicírculo abierto por parte arriba, en punto medio O vertical PML

Por lo tanto, para que la Productividad Media sea máxima L = infinito